【УМК «Человек»】Английский язык, 7 класс, 1 полугодие: Логический переход от «числа» к «выражению»

В начальной школе мы изучали, как использовать буквы для обозначения чисел, и знали, что можно использовать буквы или выражения с буквами для обозначения чисел и количественных отношений. Переход от конкретных вычислений с числами к обозначению закономерностей с помощью букв — это великий скачок в математическом мышлении.

Зачем нужен такой переход?

На Тибетской железной дороге скорость поезда на мерзлотном участке составляет $v \text{ км/ч}$. Если мы рассчитаем путь за определённое время:

за $2\text{ч}$ путь составит $2v \text{ км}$
за $3\text{ч}$ путь составит $3v \text{ км}$
Когда мы обозначим время как $t$, путь будет равен $vt$.

Вот такова сила математики:Введение буквы $t$ позволяет нам перейти от вычисления пути за «определённый момент времени» к описанию общего закона зависимости между временем и расстоянием. Буква, обозначающая число, может участвовать в операциях так же, как и обычные числа, а выражения позволяют кратко и ясно представить количественные отношения.

Переход от «неподвижного числа» к «динамическому выражению» является основой для дальнейшего изучения операций с многочленами и моделирования функций. Это позволяет не просто решать одну задачу, а решать целый класс задач.

ВОПРОС 1

В примере с Тибетской железной дорогой, если скорость поезда составляет $100\text{ км/ч}$, какой путь он проедет за $t\text{ ч}$?

$100 + t$

$100/t$

$100t$

$t/100$

ВОПРОС 2

Какое из следующих утверждений неверно относительно «обозначения чисел буквами»?

Буквы могут участвовать в операциях так же, как и числа

Буквы могут обозначать только положительные числа

Буквы могут кратко обозначать количественные отношения

Буквы могут обозначать законы операций (например, $a+b=b+a$)

ВОПРОС 3

Один мешок товара стоит $4.8$ рублей, за месяц было продано $m$ мешков. Как правильно записать общую выручку?

$4.8 + m$ рублей

$4.8m$ рублей

$m/4.8$ рублей

$4.8^m$ рублей

ВОПРОС 4

Каков коэффициент одночлена $-a^2h$?

$0$

$1$

$-1$

$a$

ВОПРОС 5

Какова степень одночлена $\f\frac{2}{3}\pi r^3$?

$3$

$4$

$2$

$1$

ВОПРОС 6

Чему равен результат вычисления $100t - 252t$?

$152t$

$-152t$

$-352t$

$-152$

ВОПРОС 7

Двухзначное число, цифра единиц — $a$, цифра десятков — $b$. Как его правильно записать?

$ab$

$a + b$

$10b + a$

$10a + b$

ВОПРОС 8

Какая из следующих пар одночленов являются подобными?

$x^2y$ и $xy^2$

$3ab$ и $-ba$

$a^2$ и $b^2$

$2x$ и $2$

ВОПРОС 9

Раскройте скобки: $-5(1 - \f\frac{1}{5}x) = $

$-5 - x$

$-5 + x$

$5 - x$

$-5 + \f\frac{1}{5}x$

ВОПРОС 10

По классификации рациональных чисел, к какому из следующих множеств принадлежит $0$?

положительные числа

отрицательные числа

целые числа

дроби

Логический вызов: от классификации к моделированию

Интегрированное применение рациональных чисел и алгебраических выражений

Прежде чем изучать многочлены, мы должны чётко классифицировать «числа» и уметь гибко использовать «выражения» для описания динамических процессов. Выполните следующие продвинутые задания.

Задание 1

Разделите следующие рациональные числа по соответствующим категориям: $15, -\f\frac{3}{8}, 0, 0.15, -30, -12.8, \f\frac{22}{5}, +20, -60$.

Результаты классификации:

Положительные числа: $\{15, 0.15, \f\frac{22}{5}, +20, \dots\}$
Отрицательные числа: $\{-\f\frac{3}{8}, -30, -12.8, -60, \dots\}$
Целые числа: $\{15, 0, -30, +20, -60, \dots\}$
Дроби: $\{-\f\frac{3}{8}, 0.15, -12.8, \f\frac{22}{5}, \dots\}$

Логическая особенность:Обратите внимание на особенность числа $0$: оно не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам, но является целым числом.

Задание 2

Продолжение примера с Тибетской железной дорогой: если скорость поезда на мерзлом участке составляет $100\text{ км/ч}$, а на незамерзшем — $120\text{ км/ч}$. Поезд едет $t\text{ ч}$ на мерзлом участке, а на незамерзшем — на $0.5\text{ ч}$ дольше. Запишите выражение для разницы пройденных расстояний и упростите его.

Шаги решения:
1. Путь на мерзлом участке: $100t$ км.
2. Время движения на незамерзшем участке: $(t + 0.5)$ ч.
3. Путь на незамерзшем участке: $120(t + 0.5)$ км.
4. 路程差：$120(t + 0.5) - 100t$。
5. Упрощение: $120t + 60 - 100t = 20t + 60$ км.
Вывод:На незамерзшем участке поезд проехал на $(20t + 60)$ км больше, чем на мерзлом. Это демонстрирует, как с помощью выражений с буквами можно кратко описать сложные зависимости.

✨ Ключевые моменты

Буквы обозначают числамощь велика,от конкретного к абстрактномупереходи через него.законы операцийуниверсальны,тысячи закономерностейодним выражением берёшь!

💡 Буквы — это «расширенные числа»

Не воспринимайте буквы как простые символы — они представляют все свойства чисел и подчиняются тем же законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

💡 Правила сокращения

В алгебраических выражениях при умножении числа на букву или буквы на буквы знак умножения обычно заменяется точкой «·» или опускается; числа обычно пишутся перед буквами.

💡 «Светофор» при раскрытии скобок

Если перед скобками «+», это как зелёный свет — идти прямо (знаки не меняются); если «-» — красный свет, нужно остановиться и изменить направление (все знаки меняются).

💡 Различие между константами и переменными

在 $vt$ 中，$v$ 若是固定速度则是常量，$t$ 随时间流逝是变量。理解这种动态变化是代数的精髓。

💡 Мышление моделирования в жизни

Попробуйте использовать буквы для описания закономерностей вокруг вас, например, «сумма внутренних углов $n$-угольника» или «цена со скидкой». Вы увидите, насколько универсальна математика.